to promise or commit to providing something
Natural examples
Die Stiftung hat dem Projekt 20.000 Euro zugesagt.
Zwei Kolleginnen haben uns ihre Hilfe zugesagt.
Der Lieferant sagt eine Lieferung bis Freitag zu.
Usage note
A common pattern is jemandem etwas zusagen: the person is dative and the promised thing is accusative.

